中三二次方程練習
中三 · 20 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
二次方程是中三數學的分水嶺。之前的一元一次方程只有一個答案，解法幾乎是機械式的移項；由二次方程開始，同學要先判斷方程有沒有解、有幾多個解，再決定用哪一種方法去解，思考的層次明顯不同。往後高中的二次函數圖像、不等式、以至 M1 的微分應用，全部都建立在這一課之上，所以這一課如果只是「識做題」而未通概念，之後會一路辛苦。
三種解法，先學識揀
解二次方程主要有三種方法。第一是因式分解，把方程寫成 $(x-a)(x-b)=0$，再用「兩個數相乘等於零，其中一個必定是零」這個性質得出 $x=a$ 或 $x=b$。這是最快的方法，但只有當方程可以分解成整數因式時才用得著。第二是公式法，即 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，任何二次方程都適用，代價是計算比較繁複，容易在符號上出錯。第三是配方法，把方程改寫成 $(x+p)^2=q$ 的形式，雖然在考試中較少直接用來解方程，但它是理解二次函數頂點與最大最小值的基礎，不應該跳過。
判別式告訴你有沒有解
判別式 $\Delta=b^2-4ac$ 是這一課最有用的工具。$\Delta>0$ 代表有兩個相異實根，$\Delta=0$ 代表有一個重根，$\Delta<0$ 代表沒有實根。很多題目根本不需要真正解出方程，只需要判斷根的性質，例如「求 $k$ 使方程有重根」，直接令 $\Delta=0$ 就可以。同學要習慣先看判別式，再決定要不要動手解。
根與係數的關係
如果 $\alpha$ 與 $\beta$ 是 $ax^2+bx+c=0$ 的兩個根，那麼兩根之和是 $-\frac{b}{a}$，兩根之積是 $\frac{c}{a}$。這條關係在處理 $\alpha^2+\beta^2$、$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ 這類題目時特別有用，因為完全不用把根解出來，只要把式子改寫成和與積的組合就可以。這是中三與高中之間相當常見的過渡題型。
下面的練習由基礎因式分解開始，逐步去到判別式與根與係數的應用。每一題答完都會即時批改，答錯亦會顯示完整解題步驟，可以即時對照自己的做法。
開始練習
0 / 20 已作答
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1 基礎解 $x^2-5x+6=0$
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2 基礎解 $x^2-9=0$
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3 普通若 $x^2-7x+12=0$，較大的根是多少？
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4 普通解 $x^2=49$，求正根。
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5 普通方程 $x^2+2x-15=0$ 兩根之和是多少？
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6 普通方程 $x^2+2x-15=0$ 兩根之積是多少？
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7 普通$2x^2-4x=0$ 的解是
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8 普通所有二次方程都有兩個實根。
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9 進階$(x-2)(x+5)=0$ 的解是
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10 進階$x^2-6x+9=0$ 有多少個相異實根？
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11 進階方程 $x^2+x+1=0$ 的判別式是
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12 進階用公式法解 $x^2-2x-1=0$，較大的根是 $1+\sqrt{k}$，求 $k$。
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13 進階若 $x^2+kx+9=0$ 有重根，則 $k$ 等於
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14 進階一個長方形的長比闊多 3 cm，面積為 40 cm²，求闊（cm）。
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15 挑戰方程 $3x^2-12x+12=0$ 的根是
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16 挑戰若 $\alpha$、$\beta$ 是 $x^2-5x+3=0$ 的兩根，求 $\alpha^2+\beta^2$。
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17 挑戰若 $x^2-4x+c=0$ 沒有實根，則
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18 挑戰若 $x^2-8x+k=0$ 有兩個相異實根，求 $k$ 的最大整數值。
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19 尖子方程 $x^2-(m+1)x+m=0$ 的其中一根為 3，求 $m$。
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20 尖子若 $\alpha$、$\beta$ 是 $x^2-6x+4=0$ 的兩根，求 $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$。
報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
錯誤一：兩邊同時除以 $x$
解 $2x^2-4x=0$ 時，不少同學會兩邊除以 $x$，得出 $2x-4=0$，答案只剩 $x=2$，把 $x=0$ 這個根丟失了。正確做法是提取公因式：$2x(x-2)=0$，得 $x=0$ 或 $x=2$。只要方程含有未知數的因式，就不可以直接約走。
錯誤二：判別式漏了負數情況
「$x^2+kx+9=0$ 有重根，求 $k$」的答案是 $k=\pm 6$，但很多人只寫 $k=6$。$k^2=36$ 有兩個解，開方時必須同時考慮正負。
錯誤三：應用題不檢查答案是否合理
長度、人數、時間這類量不會是負數。解出兩個根之後，一定要回到題目情境，捨棄不合理的那一個，並在答案中說明原因。