一、AI 與 AA 的核心分別：計算機規則
現行 IB Diploma 數學自 2019 年 9 月起首次教授、2021 年首屆考試，分為兩科：Mathematics: Applications and Interpretation（AI）與 Mathematics: Analysis and Approaches（AA），每科各設 HL 與 SL。
最關鍵的分別：AI 的全部試卷均可使用圖像計算機（GDC），而 AA 的 Paper 1 不准使用計算機。
這一項決定兩科所需的能力不同——但方向與許多人的直覺相反。有計算機不等於較容易：當計算本身不再是障礙，考核重心就轉移到判斷上——面對一組數據，該用哪個模型？該用哪個檢定？結果代表什麼？這些無法靠計算機得出答案。
| 比較項目 | AI（Applications and Interpretation） | AA（Analysis and Approaches） |
|---|---|---|
| 計算機 | 全部試卷可用 GDC | Paper 1 不准使用 |
| 核心取向 | 統計、建模與科技運用；重視結果的解讀與應用 | 代數推演、函數與微積分的分析技巧；重視論證嚴謹度 |
| 統計比重 | 較高，是課程的重心之一 | 較低 |
| 微積分深度 | 偏應用 | 較深，偏理論 |
| 主要難處 | 模型與檢定的選擇判斷、GDC 功能熟練度、結果的情境解讀 | 純手算流暢度、證明題的完整論證 |
| 常見升學方向 | 商科、社會科學、心理學、設計、商業分析 | 工程、物理、數學、精算、量化經濟 |
| 詳情 | 本頁 | IB Math AA 專頁 |
兩科的五個課題範疇名稱相同，但深度與側重不同。AI 在 Statistics and Probability 走得更深，AA 在 Functions 與 Calculus 走得更深。因此轉科（例如 SL AI 轉 SL AA）通常不是「補少少」就可以——需要系統補回代數與微積分的基礎，並重新建立不依賴計算機的習慣。
二、HL 與 SL 的評估結構
| 組成部分 | SL | HL |
|---|---|---|
| 建議教學時數 | 150 小時 | 240 小時 |
| Paper 1（可用 GDC） | 1 小時 30 分鐘，佔 40% | 2 小時，佔 30% |
| Paper 2（可用 GDC） | 1 小時 30 分鐘，佔 40% | 2 小時，佔 30% |
| Paper 3（可用 GDC） | 不設 | 開放式解難題，佔 20% |
| 內部評估（IA） | Mathematical Exploration，佔 20% | Mathematical Exploration，佔 20% |
| 合計 | 100% | 100% |
Paper 3 的考試時長曾有調整——不同年份的資料顯示 1 小時或 1 小時 15 分鐘。應以你所屬考試年份的官方科目指南（Subject Guide）與學校提供的資料為準。其比重（20%）與性質（開放式延伸解難題、可使用 GDC）則一致。
結構帶來的策略含意
- SL 學生：Paper 1 與 Paper 2 各佔 40%，兩份都可用計算機，因此 GDC 熟練度直接影響八成成績。
- HL 學生：Paper 3 佔 20% 而題數極少，單題分量極高——這是最容易被低估的一環。
- IA 對兩者都佔 20%——與 HL 單一份試卷相同。而 AI 的課程特色（應用與建模）令 IA 的選題比 AA 更自然，這是 AI 學生的實際優勢。
三、五個課題範疇
AI 的課程分為五個課題範疇。與 AA 的範疇名稱相同，但內容與側重不同。
| 範疇 | 主要內容取向 |
|---|---|
| Number and Algebra （數與代數） |
數列與級數及其在金融情境的應用（複利、年金、折舊）、指數與對數、近似與誤差、單位換算與科學記數法 |
| Functions （函數） |
以函數建模為核心——線性、二次、指數、對數、三次、正弦、邏輯斯蒂等模型的選擇與應用；圖像的解讀與參數的意義 |
| Geometry and Trigonometry （幾何與三角） |
立體幾何與體積表面積、三角比與正弦餘弦公式、坐標幾何、Voronoi 圖（含最近設施與選址問題） |
| Statistics and Probability （統計與概率） |
本科的重心：抽樣與數據呈現、集中與離散趨勢、相關係數與迴歸、概率、離散與連續分布（含二項與常態）、卡方檢驗與 t 檢驗等假設檢定 |
| Calculus （微積分） |
導數的概念與意義、求導與應用（變率、極值、最優化）、積分與面積、以微積分處理實際情境 |
以上為範疇層面的概覽，具體細項與深度要求應以你所屬考試年份的官方科目指南為準。IB 的課程指南會定期更新，而細項的處理要求（例如某個檢定是否需要手算、某個模型是否要求推導）往往決定溫習的實際重心。學校提供的 Subject Guide 是最可靠的依據。官方資訊可於 IB 官方網站的數學課程頁查閱。
四、最重要的辨析：哪些是 SL、哪些是 HL 獨有
這是 AI 最常見的溫錯範圍，而且方向對 SL 學生特別不利。網上不少資料把 Voronoi 圖與卡方檢驗列為 AI HL 獨有內容——實際上兩者都屬 SL 範圍。
把 SL 內容當成 HL 內容的後果是：SL 學生以為不用學，結果在考試遇到時完全沒有準備。這比多學一點嚴重得多。
| 內容 | SL 是否需要 | 常見誤解 |
|---|---|---|
| Voronoi 圖（含最近設施、選址問題） | 需要（屬 Geometry and Trigonometry） | 常被誤列為 HL 獨有 |
| 卡方檢驗（chi-squared test） | 需要（屬 Statistics and Probability） | 常被誤列為 HL 獨有 |
| 相關係數與線性迴歸 | 需要 | — |
| 二項分布與常態分布 | 需要 | — |
| 金融數學（複利、年金、折舊） | 需要 | — |
| 圖論（頂點、邊、鄰接矩陣、最短路徑、最小生成樹） | 不需要——HL 獨有 | — |
| 矩陣運算（含特徵值與特徵向量的應用） | 不需要——HL 獨有 | — |
| 馬可夫鏈與穩態 | 不需要——HL 獨有 | — |
| 複數（含在交流電路等情境的應用） | 不需要——HL 獨有 | — |
| 微分方程的數值方法（斜率場、Euler 方法） | 不需要——HL 獨有 | — |
| 向量的進階應用 | 不需要——HL 獨有 | — |
核對方法：官方科目指南以 SL 與 AHL（Additional Higher Level）標示各學習內容——凡標示 AHL 的即為 HL 獨有。這是唯一可靠的判斷方式，而且它逐項列明，不需要靠推測。若你的溫習資料沒有這種標示，其準確度值得懷疑。
HL 的三個特色領域
- 圖論與網絡：頂點與邊、鄰接矩陣、最短路徑與最小生成樹演算法。應用於物流路線、網絡設計、關鍵路徑分析。這是 AI HL 最具識別性的內容，AA 完全沒有。
- 馬可夫鏈：狀態轉移矩陣與長期穩態。應用於天氣模型、顧客流轉、系統可靠性。它同時用到 HL 的矩陣運算，是兩個 HL 領域的結合點。
- 微分方程的數值方法：斜率場與 Euler 方法。與 AA HL 不同——AI 側重數值處理與圖像理解，而非解析解。
五、GDC 六項必備功能
由於全部試卷可用計算機，GDC 熟練度直接影響成績。以下六項功能必須做到不用思考就能操作。
| 功能 | 用途 | 常見題型 |
|---|---|---|
| 方程求解 | 求方程的解、函數的零點 | 模型中求特定值的時間或數量 |
| 圖像與交點 | 繪製函數圖像、求交點、極值、與軸的交點 | 模型比較、最優化、圖像解讀 |
| 統計計算 | 單變量與雙變量統計、平均數、標準差、四分位數 | 數據描述與比較 |
| 迴歸分析 | 線性與非線性迴歸、相關係數 | 由數據找出最適模型——AI 的標誌題型 |
| 概率分布 | 二項分布與常態分布的正向與逆向計算 | 概率求值、由概率反推臨界值 |
| 假設檢定 | 卡方檢驗、t 檢驗等的計算 | 判斷關聯性或差異是否顯著 |
迴歸分析：AI 最具代表性的題型
為何重要「由一組數據找出最適合的模型」幾乎是 AI 的標誌。它同時考三件事：能否用 GDC 算出迴歸方程與相關係數、能否判斷該用哪一種模型（線性、指數、對數、二次等），以及能否解讀參數在情境中的意義。
最容易失分的位置- 模型選錯：只看相關係數的絕對值而不看數據的實際走勢與情境合理性。
- 只給方程而無解讀：題目通常會問某個參數代表什麼，這是獨立的分數。
- 外推過度：用模型預測遠超數據範圍的情況，而沒有指出這樣做的限制。
先繪散點圖看走勢，再決定模型類型；求出方程後回到情境檢查參數是否合理；作答時明確寫出所用模型與參數的意義。
假設檢定：寫法與計算同等重要
完整作答應包含- 明確寫出虛無假設與對立假設（用文字說明其在情境中的意思，而非只寫符號）。
- 寫出所用的檢定名稱與必要參數（例如自由度）。
- 寫出檢定統計量與 p 值。
- 與顯著水平比較，並作出回到情境的結論——不是只寫「拒絕虛無假設」，而是說明這在題目的情境中代表什麼。
第一步與第四步。計算機可以給你 p 值，但不會替你寫假設與結論——而這兩部分往往佔該題的一半分數。
計算機型號：必須向學校確認
IB 對可使用的計算機有明確規定，一般要求圖像計算機且不得具備電腦代數系統（CAS）功能。常見獲准型號包括 Texas Instruments 的 TI-84 Plus CE 系列與 TI-Nspire CX II（非 CAS 版本），以及 Casio 的 fx-CG50 系列。
兩件事必須注意：一、同一系列的 CAS 與非 CAS 版本外觀相近但規定不同——TI-Nspire CX II 與 TI-Nspire CX II CAS 是不同型號。二、獲准清單與規定會更新，購買前必須向學校確認當前規定，不要依賴網上舊資料。
考試前的計算機檢查
- 型號符合學校確認的當前規定，且為非 CAS 版本
- 已更換新電池，並備後備電池
- 記憶體已按學校指示清理（部分情況需要清除）
- 顯示位數已按三位有效數字的要求設定
- 角度模式設定正確（弧度或度，按題目需要）
- 六項必備功能都能不用思考就操作
六、三位有效數字與步驟書寫
精度要求
除題目另有指明外，IB 一般要求答案準確至三位有效數字。這對 AI 學生特別重要，因為全部試卷可用計算機，答案多為小數。
| 原則 | 做法 | 理由 |
|---|---|---|
| 中間值保留完整精度 | 用計算機的記憶功能保存，不要手抄四捨五入後的值再輸入 | 中途四捨五入會令誤差累積，最終答案可能超出接受範圍 |
| 只在最終答案四捨五入 | 作答時寫出完整值再寫四捨五入後的答案 | 顯示你知道兩者的分別 |
| 先看題目的指定要求 | 題目可能要求指定小數位數或最接近的整數 | 不符要求會失去答案分 |
有計算機仍要寫步驟
只寫最終答案而沒有過程，可能失去大部分分數。評分按方法給分——這一點與 AA 或 DSE 卷一相同，計算機不改變評分邏輯。
正確做法：寫出使用的方法或模型、代入的數值，以及結果。統計題應寫明所用的檢定或分布及其參數；建模題應寫出模型的形式與參數的意義。
步驟書寫的一般原則（先寫公式再代入、每步獨立成行、答案清楚標示）與其他課程一致，見推導與證明的書寫格式。
七、IA：五項準則與 AI 的選題優勢
內部評估 Mathematical Exploration 佔最終成績 20%，篇幅一般建議 12 至 20 頁。評分準則與 AA 相同。
| 準則 | 配分 | 評估重點 |
|---|---|---|
| Criterion A: Presentation | 4 分 | 連貫性、組織與精簡度 |
| Criterion B: Mathematical Communication | 4 分 | 數學符號、術語與表達的正確性與一致性 |
| Criterion C: Personal Engagement | 3 分 | 個人投入的實質證據 |
| Criterion D: Reflection | 3 分 | 對數學本身的批判性判斷 |
| Criterion E: Use of Mathematics | 6 分 | 數學的相關性、與課程程度的相稱性、正確性與理解 |
| 總計 | 20 分 | 五項準則的分數總和 |
AI 學生在 IA 上有結構性優勢。課程本身就是關於應用與建模，因此「用真實數據做統計分析或建模」這種最自然的 IA 形式，正好與課程內容相符。AA 學生反而較常需要花力氣找一個既有數學深度又不落入純理論的題目。
但這個優勢也帶來一個陷阱——見下文。
AI 學生的 IA 陷阱：數學深度不足
Criterion E 要求數學「與課程程度相稱」。AI 學生最常見的失分是：收集了大量數據、做了漂亮的圖表，但數學處理只停在算平均數、畫散點圖與做一條線性迴歸——這對 SL 都偏淺，對 HL 更明顯不足。
HL 學生應該用到 HL 的技巧——例如圖論、馬可夫鏈、矩陣、複數或微分方程的數值方法。若整份 IA 只用 SL 程度的方法，這一項的得分會受限，無論數據處理得多完整。
提升數學深度的四個方向
- 比較多個模型：不只做一條迴歸，而是試多種模型並用準則比較哪個更適合——這自然帶出 Criterion D 的反思。
- 加入假設檢定：不只描述數據，而是檢驗某個關聯或差異是否顯著。
- 用 HL 特色內容（HL 學生）：把問題設計成可用圖論、馬可夫鏈或矩陣處理的形式。
- 加入誤差與敏感度分析：探討某個假設變動如何影響結果——這同時提升 Criterion D 與 E。
選題方向（僅為方向，須自行找出個人切入點）
以下是可行的方向而非現成題目——直接照用網上常見題目會直接影響 Criterion C（Personal Engagement）：
- 用自行收集的數據做建模與檢定：關鍵是「自行收集」，這同時支撐 Criterion C。
- 比較兩種模型在同一數據上的表現：這種結構天然支撐反思。
- 用金融數學處理實際決策：AI 的複利與年金內容可用於比較不同方案。
- 用 Voronoi 圖處理選址或服務範圍問題：SL 與 HL 均可，並可加入實際距離的考量作為反思。
- 用圖論處理路線或網絡問題（HL）：物流、交通、網絡設計。
- 用馬可夫鏈模擬狀態轉移（HL）：需要合理的轉移概率來源，這一點本身就是反思材料。
各準則的實務要點
- Criterion A（4 分）：最高一級要求精簡——冗長的數據附錄與重複計算會扣分，不是加分。
- Criterion B（4 分）：所有變數使用前先定義；符號前後一致；圖表有標題與軸標籤。AI 的 IA 通常圖表多，這一項容易因圖表標示不全而失分。
- Criterion C（3 分）：評的是你在探究中實際做了什麼（自行收集數據、自行設計驗證），而非結尾一段感想。
- Criterion D（3 分）：具體指出哪一個假設影響結果及影響方向。「數據可以更多」這類籠統句子不會得分。
- Criterion E（6 分）：配分最高，且對 HL 有程度要求。
準則的具體級別描述應以官方文件為準。每一級的完整描述在學校提供的 IA 指引或官方科目指南中有明確條文，撰寫時應逐項對照。指導方面：教師與導師可就選題方向、方法適切性與行文結構給意見，但不可代寫——IA 必須是學生自己的作品。
時間安排
- Diploma 第一年下學期：選題與數據可得性驗證。AI 的 IA 最常見的中途失敗是數據拿不到或數據質量不足，這一步必須先確認。
- 第一年暑假：完成數據收集與主要分析。
- 第二年上學期：完成初稿，按五項準則逐項自評，特別檢查 Criterion E 的數學深度是否足夠。
- 提交前：處理 Criterion B（圖表標示與符號一致性）與 Criterion A（刪減冗餘）。
八、Paper 3（HL 專有）
Paper 3 只有 HL 設有，佔最終成績 20%，形式為開放式延伸解難題，可使用 GDC。
Paper 3 佔 20% 但題數極少（一般為兩題），意味著單題分量極高。而它考的不是課題記憶，而是把已學工具用在陌生情境的能力：題目通常由淺入深、分段引導，前段的結果是後段的前提。
對 AI HL 學生而言，Paper 3 常以延伸的數據或建模情境出現，並可能結合圖論、馬可夫鏈等 HL 特色內容。因此它無法靠背題型應付。
應對方法
- 前段小題必須驗算：因為後段依賴它。花 30 秒驗算第一小題，可能保住整題。
- 訓練由已知條件反推路徑：看不出方向時，列出手上有什麼、可以算出什麼，而非等靈感。
- 不要因為看不懂全題就放棄：分段引導的設計意味著前段通常可做。
- 單獨練習歷屆 Paper 3：它的風格與 Paper 1、2 明顯不同。
九、選科判斷依據
| 能力特徵 | 怎樣觀察 | 指向 |
|---|---|---|
| 情境判斷與模型選擇 | 面對一組數據，能否判斷該用哪種分析方法 | 強 → AI |
| 結果的情境解讀 | 算出數字後，能否說出它在題目情境中代表什麼 | 強 → AI |
| 科技工具的運用 | 是否善於用計算機或軟件處理數據與圖像 | 強 → AI |
| 純手算的流暢度 | 不用計算機做代數化簡與求導時的速度與準確度 | 強 → AA（Paper 1 無計算機） |
| 抽象推演與論證 | 能否寫出完整證明；面對「證明」題有否切入方法 | 強 → AA HL |
關於大學要求：不同大學及學系對 IB 數學的要求並不一致，而且會按年度調整。一般而言，工程、物理、數學等方向較多要求或偏好 AA HL，而商科與社會科學方向較多接受 AI；但具體的科目與分數要求必須直接查閱目標學系當年公布的入學要求。
我們不列出具體的大學要求對照表，因為這類資訊變動頻繁，而過時的對照表會直接影響一個影響兩年的決定。
一個實用的判斷原則
若升學方向仍未確定，AA 的認受面一般較廣，尤其在需要數學基礎的學系。但若已確定不修讀工程、物理、數學等方向，而你的強項在數據判讀與應用，AI 是更相稱的選擇——選一科自己能拿高分的，通常比勉強應付一科更有利。
由其他課程轉入 AI
- 由 MYP 或本地課程升 AI：最常見的缺口是 GDC 操作經驗不足，以及統計術語的英文表達。Pre-IB 階段可先熟習計算機。
- 由 AA 轉 AI：代數基礎通常足夠，主要需要補的是統計方法的判斷與 GDC 熟練度。
- 由 DSE 轉 AI：DSE 的 M1 有統計基礎可對接，但 IB 的 IA（佔 20%）與作答語言是新的要求。範圍對照見DSE 課程頁與M1 M2 比較。
十、課程安排與收費
IB 學生的科目與程度組合差異很大——同一個班可能有 AI HL、AI SL 與 AA 學生，而各人的學校進度亦不同。因此我們先確認你的科目、程度與學校進度，再決定教學安排。
課程特色
- 按科目與程度區分：AI HL 與 AI SL 的範圍差異明顯（圖論、馬可夫鏈、矩陣、複數均為 HL 獨有），不會用同一套內容處理。
- SL 與 HL 範圍核對：開課時先確認你的溫習範圍沒有把 SL 內容誤當 HL（Voronoi 圖、卡方檢驗），或反過來。
- GDC 六項功能訓練：由基本操作到迴歸與假設檢定，並訓練在限時下的操作速度。
- 統計與建模題型訓練：重點在模型選擇的判斷與結果的情境解讀——這是 AI 的核心考核，而非計算本身。
- 假設檢定的完整書寫：假設陳述與情境結論往往佔該題一半分數，而計算機不會替你寫。
- IA 五項準則指導：特別針對 AI 學生最常見的 Criterion E 深度不足問題；以協助學生自行完成為原則。
- Paper 3 專項（HL）：分段引導題的處理方法與前段驗算習慣。
- 可全英語授課：配合國際學校語言環境與英文作答格式，包括統計術語的正確表達。
班期與收費
| 項目 | 詳情 |
|---|---|
| 班期 | 星期四 16:30–18:00（IB／A-Level／IGCSE 合班） |
| 每堂時長 | 1.5 小時 |
| 每月堂數 | 4 堂 |
| 每月學費 | HK$1,600 |
| 平均每小時 | 約 HK$267 |
| 班級人數 | 約 12 至 14 人，兩位導師（師生比例不多於 1:7） |
| 教材 | 按科目與程度編製，包含歷屆試題練習及 IA 指導 |
| 試堂 | 首堂半價；即日報讀可扣減首月學費 |
由於 IB 學生的組合差異大，亦提供一對一及自組班（最少 3 人成班，同一科目與程度）。完整收費見收費與學費頁，課程總覽見IB／GCE 數學補習。
上課地點為九龍太子彌敦道761號藍馬之城9樓A室（港鐵太子站 C1 出口步行約 2 分鐘），WhatsApp 9651 3910。導師資歷見數學導師。
適合對象
- 國際學校修讀 IB Math AI HL 或 SL 的學生
- GDC 操作不熟練、或在統計題失分較多的學生
- 需要 IA 選題與數學深度指導的學生
- HL 學生需要圖論、馬可夫鏈或矩陣的專項訓練
- HL 學生需要 Paper 3 專項訓練
- 由 AA、DSE 或其他課程轉入 AI，需要對照範圍差異的學生
畢業生分享包括 IB Math 學生升讀香港大學政治學與法學等，見畢業生分享與成績見證。
IB Math AI 常見問題
AI 是不是比 AA 容易？
不是難易之分而是方向不同。AI 全部試卷可用計算機，但考核重心因此由「計算得出答案」轉為「判斷該用哪個方法並解讀結果」。對善於數據判讀的學生 AI 較適合，對善於抽象推演的學生 AA 較適合。
AI 與 AA 最關鍵的分別？
計算機規則：AI 全部試卷可用 GDC，AA 的 Paper 1 不准使用。這決定兩科所需的能力不同。詳見IB Math AA 專頁。
Voronoi 圖是 HL 獨有嗎？
不是，它屬 SL 範圍（Geometry and Trigonometry）。卡方檢驗同樣屬 SL。把這兩項當成 HL 內容會令 SL 學生漏溫——這是相當常見的誤解。
哪些內容是 AI HL 獨有？
圖論與鄰接矩陣、矩陣運算、馬可夫鏈與穩態、複數、微分方程的數值方法（斜率場與 Euler 方法）、向量的進階應用。核對方法是看官方科目指南的 AHL 標示。
AI 可以用哪些計算機？
一般要求圖像計算機且不得具備 CAS 功能。常見獲准型號包括 TI-84 Plus CE 系列、TI-Nspire CX II（非 CAS 版本）與 Casio fx-CG50 系列。同系列的 CAS 與非 CAS 版本規定不同，購買前必須向學校確認當前規定。
答案要保留多少位數？
除題目另有指明外，一般要求三位有效數字。中間值應保留完整精度（用計算機記憶功能），只在最終答案才四捨五入。
有計算機是否不用寫步驟？
要寫。評分按方法給分，只寫答案可能失去大部分分數。應寫出使用的方法或模型、代入的數值與結果；統計題須寫明所用檢定或分布及其參數。
AI 學生的 IA 最容易在哪裡失分？
Criterion E 的數學深度。常見情況是收集了大量數據、做了漂亮圖表，但數學只停在平均數與一條線性迴歸——對 SL 已偏淺，對 HL 更明顯不足。提升方向見第七節。
AI HL 與 SL 差距大嗎？
相當大。教學時數相差 90 小時，而 HL 有圖論、馬可夫鏈、矩陣、複數等 SL 完全沒有的內容，另加佔 20% 的 Paper 3。若數學能力一般，SL 是較穩妥的選擇。
大學對 AI 有什麼要求？
因大學、學系與年度而異。商科與社會科學方向較多接受 AI，工程物理數學方向較多要求 AA HL；但必須直接查閱目標學系當年公布的要求——我們不列出對照表，因為過時資訊會影響選科決定。